Pflichtaufgaben
25 BE 1.
Gegeben ist die Funktion f :
.
Ihr Graph sei G.
(02)
1.1
Weisen Sie nach, dass der Graph von f
weder achsen-
noch punktsymmetrisch ist!
(02)
1.2
Geben Sie die Nullstellen an!
(10)
1.3
Berechnen Sie von f die
lokalen Extrempunkte und den Wendepunkt,
einschließlich
Nachweise!
(02)
1.4
Zeichnen Sie den Graph G von f
im Intervall
[ -3; 4,5 ] !
(03)
1.5
Ermitteln Sie Gleichung der Tangente t
an G im
Punkt
P(-2;
0) !
Zeichnen Sie
diese in die Skizze ein!
(01)
1.6
Geben Sie den Winkel an, unter dem der
Graph G die
x - Achse an der Stelle
x = -2
schneidet!
(05)
1.7 Die
Tangente t , der Graph G und die y - Achse
begrenzen
eine Fläche.
Berechnen Sie deren Inhalt!
Geben Sie das Verhältnis an, in dem der Graph
G die im II.Quadranten
von der
Tangente t
und den Koordinatenachsen gebildete
Dreiecksfläche teilt!
10 BE 2.
Die Fragestellungen dieser Aufgabe
besitzen untereinander keinen Bezug.
Sie sind unabhängig voneinander zu bearbeiten!
(03)
2.1 In
welchen Punkten hat die Tangente an die Kurve
den Anstieg 1 ?
(03)
2.2 Der
Graph der Funktion 
besitzt zwei
Wendepunkte.
Welcher von beiden ist ein Horizontalwendepunkt?
Führen Sie dazu den Nachweis und bestimmen Sie dessen
Koordinaten!
(02)
2.3
Berechnen Sie das Integral 
!
(02)
2.4
Berechnen Sie die Matrix 
mit 
und 
!
Wahlaufgabe 3 (alle
Fachrichtungen außer
Technik):
Von
diesen Aufgaben ist eine auszuwählen
und zu lösen. Bei Bearbeitung beider Aufgaben wird die Lösung
gewertet, für die
die höhere Punktzahl erreicht wurde.
15 BE 3. Die Funktion
f
wird durch die Gleichung 
beschrieben.
(03)
3.1 Zeichnen Sie den Graph von f im
Intervall
[ -1 ; 5 ] !
(1LE = 2cm)
Berechnen
Sie hierfür mindestens 5 Kurvenpunkte!
(02)
3.2
Bestimmen Sie von f die
Stammfunktion F(x) !
(05)
3.3
Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von f und der x - Achse im
Intervall [ 0; 4 ] !
Wie groß müsste die obere
Grenze sein, damit
die berechnete Fläche halb so groß ist?
(05)
3.4 Der
Punkt Q
( 0 ; 0 ) sei
der linke untere Eckpunkt eines achsenparallelen Rechtecks.
Der rechte obere Punkt R liege
auf dem Graph
von f .
Ergänzen Sie Ihre Zeichnung in
3.1!
Welche Koordinaten muss der Punkt
R
haben, damit dieses Rechteck maximalen
Flächeninhalt hat?
Wahlaufgabe 4 (Wirtschaft):
15 BE 4.
Die Aufgabe 4 besteht aus zwei
voneinander unabhängigen
Teilen.
4.1 Eine
Unternehmung nimmt ein
Baudarlehen in einer Höhe von 1 500 000,00EUR
auf.
Das Darlehen soll lt. Darlehensvertrag mit 6% verzinst und mit
1% der
Anfangsschuld
getilgt werden. Es wird eine Annuitätentilgung
vereinbart.
(03)
4.1.1
Ermitteln Sie die Annuität!
(02)
4.1.2
Bestimmen Sie die Laufzeit des Darlehens!
(05) 4.1.3 Der Darlehensnehmer ist in Zahlungsschwierigkeiten. Auf Grund dessen setzt die
Bank nach 18 Jahren die Tilgung für 2 Jahre aus.
Welche Höhe haben in den verbleibenden
Jahren die Annuitäten, wenn das Darlehen
nach
Ablauf der ursprünglichen Laufzeit
(siehe 4.1.2 )
getilgt sein soll?
(05)
4.2 Aus einem
Erbschaftsanteil hebt der Erbe 14
Jahre lang von einem Sparkonto am
Jahresende 2 500,00 EUR ab.
Am
Ende des 14.Jahres verfügt er noch
über ein Guthaben von 14 370,20 EUR.
Der Zinssatz beträgt 5,5%.
Wie hoch war das Anfangsguthaben K0 ?
Wahlaufgabe 4
(Sozialwesen, Ernährung,
Hauswirtschaft):
15 BE 4. Die
Aufgabe 4 besteht aus zwei voneinander
unabhängigen Teilen.
4.1 Die Ausgaben
für Sozialleistungen in
einem Verwaltungsbereich entwickelten sich in
den zurückliegenden Jahren wie folgt: (alle Angaben in
Millionen EURO )
Jahr 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Kosten 3,61 3,84 4,29 4,01 4,96 5,62
(03)
4.1.1
Berechnen Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche
Steigerungsrate!
(Zwischenergebnisse
auf drei
Stellen nach dem Komma runden)
(02)
4.1.2
Welche Größen sind für die nächsten drei Jahre zu
erwarten, wenn von einer
gleich-
bleibenden Steigerungsrate von 6,42%
ausgegangen wird?
(02) 4.1.3
Stellen Sie die Entwicklung der Ausgaben für Sozialleistungen
für den Zeitraum
von
1997
bis 2005 mit hilfe eines Polygonzuges dar!
4.2 In einem Unternehmen
wurden in einem Jahr 40
Krankheitsfälle registriert.
Bei
der Feststellung der
Krankheitsdauer erhielt man folgende Häufigkeitstabelle:
xi : Krankheitsdauer
in
Tagen (Klassenmitten)
ni : absolute Häufigkeiten
xi 3 8 13 18 23 28 33 ni 15 10 6 4 2 2 1
(01)
4.2.1 Berechnen
Sie die relativen Häufigkeiten hi !
(02)
4.2.2
Ermitteln Sie die durchschnittliche Krankheitsdauer!
(01)
4.2.3
Bestimmen Sie den Median!
(03)
4.2.4
Berechnen Sie die Standardabweichung der Stichprobe!
(01)
4.2.5 Wieviel
Prozent der Krankheitsfälle dauern höchstens 13 Tage?
Wahlaufgaben (nur Technik):
Von
diesen Aufgaben ist eine
auszuwählen und zu lösen. Bei Bearbeitung beider Aufgaben
wird die Lösung
gewertet, für die die höhere Punktzahl erreicht wurde.
15 BE 3.
Die Funktion f wird
durch die
Gleichung 
beschrieben.
(01)
3.1
Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion
f an!
(03)
3.2
Zeichnen Sie den Graph von f
im Intervall [ -4 ; 4 ]
! (1LE = 1cm)
Berechnen
Sie hierfür mindestens 5 Kurvenpunkte!
(02)
3.3
Bestimmen Sie von f die
Stammfunktion F(x) !
(05)
3.4
Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von f und der
x -
Achse im
Intervall [ -4; 0 ] !
Wie groß müsste die obere Grenze sein, damit die
berechnete Fläche halb
so groß ist?
(04)
3.5 Der
Punkt O
( 0 ; 0 ) sei der rechte untere Eckpunkt
eines achsenparallelen Recht-
ecks. Der linke obere Punkt R liege auf dem Graph von f .
Ergänzen Sie Ihre Zeichnung in 3.2!
Welche Koordinaten muss der Punkt
R
haben, damit dieses Rechteck maximalen
Flächeninhalt hat? (Verzicht auf die 2.Ableitung)
15 BE 4.
Ein Drachenviereck ABCD
sei durch seine Eckpunkte gegeben:
A (1; 2; 2) ; B ( -1; 4; 4) ;
C ( 1; 8; 2 )
und D ( 3; 4; 0 )
(02)
4.1 Geben Sie eine Gleichung
der Geraden g
an, die durch die Punkte A und B verläuft
und eine Gleichung der Geraden h
, die durch A und D
beschrieben ist!
(03)
4.2 Berechnen Sie den Winkel (DAB ) !
(02)
4.3
Weisen Sie nach, dass der Punkt C nicht
auf der
Geraden g
liegt!
(05) 4.4 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die beiden Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!
Geben Sie die Koordinaten des Punktes M an!
(03)
4.5
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks!